枠と背景が洞窟内の見取り図と一致しているようです。

このまま崩れない道にそってクロスワードのように島の名前を埋めようとすると、途中で詰まってしまいます。
何か見落としている部分はないでしょうか？

よくみると、ロープの組み方や、灰色の枠が上下逆さまになっているようです。
洞窟内見取り図を上下逆さまにした状態で崩れない道にそってクロスワードのように島の名前を埋めてみましょう。

名前の文字数の多い島から考えていくと埋めていきやすいです。
入口から縦一直線に入る5文字の島の名前とそれに交差する7文字（3行目の1番左の【2】～3行目右から3番目の【1】まで）の島の名前をまずは考えてみましょう。

【0】が入っていた場所は崩れない道が繋がっていないので島の名前を入れられません。

答えは「シンカ」です。